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대수조합

 

대수조합 연구팀

  • 참여 교수 : 이상구, 김미경, 천기상, 김창헌, 김장수, 킨카 다스

     

    ◆ 선형 대칭성들의 대수적 구조에 대한 연구

     

      선형적 구조 분석은 주어진 수학적 대상의 다양한 구조를 이해하는 가장 중요한 접근 방법 중의 하나이다. 이는 자연스럽게 선형 연산자의 성질, 선형 대칭성들의 대수적 구조에 대한 연구를 수반하게 된다. 본 연구 팀에서는 조합적행렬이론, 가환대수이론, 표현론 등의 대수학 및 조합론의 관점에서 연구를 수행한다. 대수조합 연구팀에서는 다음의 주제를 중점적으로 다룬다.

     

    - 조합적 행렬이론을 이용한 격자점 경로 분석

    - 고유치 계산을 통한 그래프 구조 연구

    - 국소환의 완비 이데알 구조 이해

    - 가환대수의 불변량 계산에 대한 알고리즘 계발

    - 수리 물리학의 대수적 대칭성의 표현론적 접근

    - 양자군 표현론의 조합론적 특성 분석

    - 그래프상의 지표이론

    - 목보형함수의 산술성에 관한 연구

    - 직교다항식의 조합론 연구

     

      조합행렬론은 조합 및 이산적 아이디어를 이용하여 조합론과 행렬이론을 상호 보완적으로 연구하는 수학이론이다. 이 이론은 순수수학 이론에서 뿐만 아니라 컴퓨터과학, 정보통신, 물리학, 통계학, 사회과학 등과의 밀접한 연관관계 로 인하여 그 중요성이 날로 더해가고 있다. 최근 10여년 동안 리오단 군(Riordan group) 이론과 리오단 행렬 이론을 집중적으로 연구해온 본 연구팀은 이 분야에 새로운 연구 방향 및 연구 방법을 지속적으로 제시함으로서 이 분야의 선두그룹에 있다. 특히 리오단 군 이론은 양자 군론, 군표현론, 정수론, 통계역학 등에 조합적 아이디어를 제공해 줄 뿐만 아니라 양자물리의 보손 줄(boson string) 연구에 이용되는 중요한 이론으로서 앞으로 순수수학 뿐만 아니라 학제간 융복합 연구에 많이 활용될 것으로 기대한다.

     

      가환대수 이론은 정수론, 대수기하학을 포함한 대수학 전반에 이론적배경을 제공하는 고전적인 분야이다. 가환환의 여러 가지 이데알 구조를 분석하여 그들의 불변량을 유도하고, 그 불변량을 통하여 가환환 상의 대수구조를 이해하는 것이 일차적인 목표이다. 이를 기반으로 기초학문으로서의 대수학 그 자체의 발전을 도모하고 동시에 여러 계산적 성질들 혹은 불변량들을 조합론, 행렬이론, 표현론 및 다양한 응용분야에 효과적으로 접합시키고자 한다.

     

      표현론은 수학적 대상의 선형적 대칭성을 연구하는 분야이다. 동시에 표현론은 정수론, 기하학, 조합론, 수리 물리학 등 다양한 학문분야에 중요한 방법론을 제공하는 분야로서 학제적 성격이 강한특징이 있다. 선형적 대칭성들의 대수적 구조는 다양한 유한 또는 무한 차원 대수를 이루는데, 본 연구에서는 리 대수 또는 이것의 q-변형인 양자군의 표현을 집중적으로 분석하고자 한다. 특별히 이들 표현의 차원 또는 기약 특성식 계산에 초점을 맞추고자 하며, 이를 조합론 및 다양한 알고리즘을 통해 구현하고자 한다.

     

      보형형식은 수론, 조합론, 쌍곡기하학, 에르고딕이론, 수리물리 등 다양한 분야에서 많이 응용된다. 특히, 목보형형식 및 약한 조화 Maass 형식은 아직 밝혀지지 않은 많은 현상들을 설명할 수 있는 중요한 도구라고 할 수 있다. 본 연구에서는 보형함수의 특이값의 대각합에 관한 연구를 목보형함수로 확장하고, 보형함수의 주기적분에 관한 기존의 결과를 일반적인 무게와 수준으로 확장한다. 보형함수의 대각합과 무한곱과의 관련성에 관한 결과를 확장하고, 일반화된 달빛예측이론을 구현한다. 직교다항식은 해석학에서 중요한 대상이며 모멘트가 격자점 경로로 표현되는 등 조합적으로도 좋은 성질을 많이 갖고 있다. 본 연구에서는 다양한 직교다항식과 관련된 조합론을 연구하려고 한다.