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기하해석

 

기하해석 연구팀

  • 참여 교수 : 박정형, 김인숙, 황인성, 허석문, 윤석배, 서이혁, 채영도, 년푸중

     

    ◆ 곡률과 기하구조 그리고 편미분 방정식의 정성적 성질

     

      편미분 방정식의 해의 정성적 성질은 필연적으로 그 방정식이 설명하는 물리적 대상이 놓여있는 공간의 기하적 성질에 크게 의존하게 된다. 예를 들어 기체 동역학 방정식의 해의 존재성은 입자들이 놓여있는 공간의 곡률에 크게 제한을 받는다. 따라서 편미분 방정식의 초기 경계 문제의 실질적 연구를 위해서는 그 물리적 공간에 대한 기하학적 이해, 특히 곡률과 기하 구조간의 연관성에 관한 연구가 선행되어야 된다.

     

      한편 비선형 편미분방정식의 해의 정성적, 정량적 이해 및 그 물리적 응용을 위하여서는 해당 물리공간에 대한 깊은 기하학적 이해와 유계 혹은 비유계 선형, 비선형 작용소에 대한 이해가 선행되어야 한다. 따라서 편미분 방정식 분야, 미분 기하 및 대수 기하 분야, 그리고 선형비선형 작용소 분야 연구진으로 구성된 본 기하해석팀은 서로간의 상호 교류를 통하여 연구를 진행 중이다. 이러한 연구팀 내 공동 연구 이외에 연구단 구성원은 독립적 연구주제로 다음과 같은 연구를 수행하고 있다.

     

    - 라플라스 작용소의 고유치와 스펙트럴 기하

    - 토에플리츠 작용소의 부분정규성

    - 대수다양체위의 벡터번들의 모듈라이

    - 동역학방정식의 수치해석법의 수렴성 연구

    - 동역학 방정식의 초기 경계치 문제

    - 개접촉 구조의 normality, 개에르미션 구조의 적분 가능성

    - 비선형 작용소의 고유치 문제

    - 슈뢰딩거 방정식의 유일접속 문제

     

      현실에서 일어나는 대부분의 기체 동역학 문제는 경계 조건을 포함하지만 현재 이에 대한 수학적 연구는 초기 단계에 머물러 있다. 초기 경계치 조건 문제를 풀 때에는 방정식을 선형화 하고 그 비선형적 섭동을 연구하는 것이 가장 효과적인 접근법이라 할 수 있는데, 이러한 선형화에서 파생된 유계 비 유계 작용소 및 세미 그룹 분석을 통해 해의 비선형적 움직임에 대한 이해를 얻고자 한다. 또한 최근 핵융합로의 플라즈마 움직임의 관찰 등을 위해 동역학 방정식의 수치해석학적 분석이 각광을 받고 있다. 하지만 그러한 수치해석적 알고리즘이 실제 방정식의 해로 수렴하는지에 대한 엄밀한 연구는 매우 부족하고, 대부분 경험에 근거하여 알고리즘의 효율성 신뢰성 등을 추정하고 있다. 수치해석법의 수렴성 연구는 이러한 수치계산 알고리즘들이 대한 신뢰성을 엄밀히 증명한 것으로써 수치계산 결과의 타당성을 보장하게 해준다는 의미가 있다.

     

      한편 작용소이론 분야의 가장 큰 문제 중 하나는 할모스(Halmos)에 의해 제기된 "부분정규 작용소(subnormal operator)"에 대한 문제로 지금까지 많은 연구가 되어져왔고, 아직도 많은 미해결 문제가 남아있다. 본 팀에서는 유계선형작용소 (bounded linear operator)에 집중하고자 한다. 정규 작용소의 경우 스펙트럴 정리가 그 작용소의 확실한 구조를 보여 준다. 이에 반하여 부분정규 작용소 이론은 함수 이론(function theory), 특히

    함수 대수(function algebra)이론과 밀접한 관계가 있다. 본 연구팀은 가능하면 많은 작용소에 대해서, 정규 작용소의 경우와 같이, 그 구조를 이해하고자 한다.

     

      수치해석적 프로그램 기술은 대수기하학의 여러 가설을 예측케 하고 Groebner 기저와 같은 대수적 알고리즘을 수월하게 제공한다. 이러한 연관관계는 모두 대수기하학의 선형적인 면에 기인한다. 또한 대수다양체의 가장 대표적인 예인 균질공간(Homogeneous 공간)위에서의 기하학은 선형적인 성질이 가장 잘 나타나는 다양체로, 행렬해석과 표현론과 같은 분야의 연구와 밀접한 관련이 있다.

     

      슈뢰딩거 방정식의 유일접속성은 해가 국소적인 영역에서 근을 가질 수 없는 성질로서 양자역학의 중요한 성질 중 하나인 비국소성과 밀접한 관련을 맺고 있다. 이에 관련 학계의 관심은 계속 증가하고 있지만 슈뢰딩거 방정식은 타원형, 포물형, 쌍곡형 등 전통적인 편미분방정식 모델에 속하지 않아 아직까지 해결되지 않은 많은 문제들이 있는 도전적인 연구분야이다.