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응용수학

 

응용수학 연구팀

  • 참여 교수: 권순학, 임용도, 천창범, 이항석, 윤상운, 정윤모, 라티나사미 삭시벨

     

    ◆ 고차원 비선형 문제에 대한 수치적 알고리즘 개발

     

      정보보호학(information security)이란 수학적 이론의 바탕 위에 급격히 발전된 컴퓨터 관련 기술의 힘을 빌어 전자상거래 등의 디지털 정보교류에서 있을 수 있는 부정적인 면을 제어하고 당사자 간의 안전하고 신뢰할만한 정보교류의 프로토콜을 제공하는 것을 목적으로 하는 학문이다. 이러한 민감한 정보의 보호를 위하여 다양한 암호시스템(RSA, ElGamal Cryptosystem, ECC, Lattice Based Cryptosystem)이 사용되고 있으며 이러한 알고리즘들의 상당 부분은 localization technique을 통해 선형문제로 귀착시켜 계산을 수행할 수 있다. 대표적인 예로 linear cryptanalysis, lattice based analysis 등을 들 수 있으며, 관련 분야에서 다루는 벡터공간의 차원이 매우 높으므로 효과적인 수치적 방법이 필요하다.

     

      차원이 큰 비선형 문제들의 이해는 선형 분석, 효율적인 수리과학 계산 알고리즘의 개발과 관련 이론, 최적화 이론, 수치해석, 동력계 이론 등 광범위한 분야의 이론들이 유기적으로 관계된다. 비선형 문제에 대한 효율적인 알고리즘의 구성을 위하여, 기존의 알고리즘들을 Dynamical Systems Theory와 Complex Dynamics의 관점에서 재해석하여 분류하고, 이를 바탕으로 효율적인 수치적 방법을 구성한다.

     

      Risk management 등과 같은 금융 분야에서 나타나는 수학적 모델을 위해서는 기존의 방대한 자료를 바탕으로 만들어진 공분산 행렬이 필요하고 이것은 차원이 매우 큰 최적화 문제의 해를 통해서 얻어질 수 있으므로 이를 위한 효율적인 수치적 방법을 고안한다. 이 같은 연구는 볼록해석, 행렬론, 및 선형대수 등 다양한 순수수학 이론을 바탕으로 수학적 모델의 특성을 연구하여 최신의 효율적인 수치 알고리즘을 고안하고 제안한 방법의 효율성을 입증하기 위한 수렴성을 분석하고 수치적 시뮬레이션도 병행한다.

     

      따라서 정보보호 분야, 선형대수 분야, 행렬기하 분야, 금융 분야, 수치해석 분야, 병렬계산 분야, 그리고 최적화 분야 연구진으로 구성된 응용수학팀은 서로간의 공동연구를 통하여 연구 결과를 극대화 할 수 있을 것으로 기대되며, 학과의 중점 연구 주제인 기하적 행렬해석과 수리계산과 일치한다. 한편 이러한 연구팀 내 공동 연구 이외에 연구팀 구성원은 독립적 연구 주제로 다음과 같은 연구를 수행하고자 한다.

     

    - 근접점 최적화 방법

    - 교대 최소 방법

    - 중심점 추적 알고리즘

    - 정보 기하학과 최적 수송 문제

    - Risk Management의 수학적 모델링

    - 타원 곡선 암호 생성 문제

    - 복소수 동역학과 최적 알고리즘

     

      최근 기계학습, 신호/영상처리, 역문제, 데이터 분류/마이닝, 압축센싱, 패턴인식, 유전자망 분석, 금용 등과 같은 응용분야에서의 차원이 큰 최적화 문제들을 위한 효율적인 최적화 알고리즘의 개발 및 분석에 관한 연구가 활발히 이루어지고 있다. 그래디언트와 선형화 기법에 바탕을 둔 효율적 최적화 방법의 고안 및 그 수렴성 및 복잡성을 분석하고 병렬계산을 통한 계산의 가속화에 대하여도 연구하고자 한다.